ポアソン分布とは？¶
ポアソン分布は、ある間隔（時間や長さなど）の間に起こるイベントの回数に注目するものです。 まずは、その定義をみたあとに、その式の意味するところを噛み砕いていくことにしましょう。
離散確率変数Xが、パラメータλを持つポアソン分布に従うとき、k=0,1,2.., に対応する確率を生成する確率質量関数は、次の式で与えられます。
eは自然対数の底（ネイピア数）で、e=2.718...となる数です。k!はkの階乗。
ポアソン分布には、次のような性質があります。
1.) 離散的です。(x=0,1,2,3...)
2.) この数は、0から無限大までの値を取り得ます。
3.) あまり頻繁には起こらない事象の確率分布を表現します。
4.) それぞれの事象は独立です。
5.) 時間や距離などの間隔で起きる事象について記述します。
6.) 事象が起きる回数の期待値は定数です。例を見てみましょう。
マクドナルドのランチのピークは、12:30から1:00の間です。これまでの経験から、平均で10人のお客さんが、この時間帯に来店することが分かっています。それでは、ちょうど7人のお客さんが来店する確率はどれくらいでしょうか？また、10人より多いお客さんが来る確率はどれくらいでしょうか？
これまでの経験から、お昼のピーク30分間に、10人のお客さんが来ることがわかっています。この10は平均値、つまり期待値です。これはポアソン分布のパラメータλに相当します。
ポアソン分布はλが決まれば、決まりますので、この例題に答えることができます。やってみましょう。
# 残念ながら、lambdaはPythonでは予約語なので、そのまま変数名には使えます。
# lambとして、λをセットします。
lamb = 10
# ちょうど7人来る確率を計算したいので、k=7です。
k=7
# 標準mathモジュールから、必要なモノをインポート
from math import exp
from math import factorial
#Python2を使っているなら
from __future__ import division
# 確率質量関数をつかって確率を計算します。
prob = (lamb**k)*exp(-lamb)/factorial(k)
print(' 昼のピーク時にお客さんが7人である確率は、{:0.2f}%です。'.format(100*prob))
確率質量関数を手作りできました。scipyを使うともう少し楽です。
# scipy.statsから、 poissonをインポートします
from scipy.stats import poisson
# 平均は10です。
mu = 10
# 平均と分散を計算できます。
mean,var = poisson.stats(mu)
# 確率質量関数を使って、特定の確率を計算することも可能です。
odds_seven = poisson.pmf(7,mu)
print('ピーク時に7人の確率は{:0.2f}％'.format(odds_seven*100))
print('平均={}'.format(mean))
分布の全体を見ておくことにします。これは、10人よりお客が多い確率を求めるのに必要です。
# 確率質量関数をプロットしてみましょう。
import numpy as np
# ひとまず、30人のお客さんが来る確率です。理論的には無限大まであり得ます。
k=np.arange(30)
# 平均は10です。
lamb = 10
# これで確率を計算できます。
pmf_pois = poisson.pmf(k,lamb)
pmf_pois
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
%matplotlib inline
plt.bar(k,pmf_pois)
10人より多くのお客さんがくる確率はどれくらいでしょうか？
これは、11人以降の確率の値をすべて足し合わせれば良いわけですが、これを実現するのが、累積分布関数（CDF: Cumulative Distribution Function）です。
累積分布関数は、指定された値までの確率を足し合わせた値を返してくれます。
# お客さんが10人までの確率を計算するので、k = 10です。平均値もおなじく10
k,mu = 10,10
# お客さんが10人までの確率を次のコードで計算できます。
prob_up_to_ten = poisson.cdf(k,mu)
print('お客さんが10人までの確率は、{:0.2f}%です。'.format(100*prob_up_to_ten))
10により多く来る確率は、1からこの値を引くだけです。
prob_more_than_ten = 1 - prob_up_to_ten
print('10人より多くのお客さんが来る確率は、{:0.2f}%です。'.format(100*prob_more_than_ten))